Rotacional de un vector y el teorema de Stokes

Se define el rotacional de A como un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área  conforme en área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal de la misma cuando ésta está orientada  de tal modo que la circulación sea máxima.

En coordenadas cartesianas se puede encontrar el rotacional como

En coordenadas cilíndricas como

 Y en coordenadas cilíndricas como 

Propiedades del rotacional:

1.       El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

2.      El rotacional de un campo escalar V, ∇xV, no tiene sentido.

3.      La divergencia del rotacional de un campo vectorial se hace cero, es decir,

∇∙(∇ x A)=0

4.      El rotacional del gradiente de un campo escalar se hace cero, es decir, ∇ x ∇V=0

El rotacional proporciona el valor máximo de la circulación del campo por unidad de área (o sea densidad de circulación) e indica la dirección a lo largo de la cual ocurre este valor máximo.
El rotacional de A en un ponto P puede considerarse como una medida de circulación o de cuanto gira el campo alrededor de P.

  (a) ∇xA ≠0
  (b) ∇xA=0


De la definición de rotacional se puede esperar que

A este de le llama teorema de Stokes. El teorema enuncia que la circulación que la circulación de A en torno a la trayectoria (cerrada) L es igual a la integral de superficie del rotacional de A sobre la superficie abierta S acotada por L.